什么导致了成功，当然有很多因素。有的人勤奋，有的人幸运，有的人有贵人的帮助等等。但什么导致了失败，原因也是很多的。但这里我只讲三个容易导致我们失败的原因，看了你一定会有收获。

第一个原因：莫名其妙地凑热闹。假设你现在走在去图书馆的路上，打算去看一天复习资料。突然看到路边一堆人聚集在一起，不知道看什么。你也上去围观，看了一会儿，才去图书馆学习，结果浪费了学习的时间。在学习的过程中，心中还老想着刚才发生的事儿，导致自己的复习效果也很差。其实，既然是路边的热闹，那就一定是与你无关的啊！再说路边能发生啥事？无非就是俩人吵架了之类的，跟你有什么关系啊？把这些时间用来学习，提高一两分不好么？

第二个原因：心急火燎地随大流。有些同学看到身边的人都去听了这个课程，买了那本资料，抄了几个模板。于是跟风效仿，也开始东一榔头西一棒槌的跟风。最终的结果，就是自己欠缺的地方，一点都没补上来，跟风学习的内容，最后也证明没多大用处。何必呢，老老实实的把自己的基础打扎实，把自己的漏洞补上去才是正道啊！

第三个原因：操碎了别人的心肝。我们有些同学是追星一族。啊！今天偶像受伤了！咦！明星又出绯闻了！哎呦！这个谁谁谁又获奖了！我只想说，跟你有啥关系啊，天天为偶像操碎了心，自己的学习也没学好，还不如把这闲工夫用来孝敬爹妈呢？你说对不？

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概率题中，经常会看到这类题：题中有“至多”、“至少”的字眼。这类题很多学生容易读错题意，或者是在分类计算的时候，分错类，或者重复分类，或者有遗漏。今天我们就来做几道这样的题，希望能彻底掌握这类题的做法。看题：

一盒中装有20个大小相同的小球，其中红球10个，白球6个，黄球4个。某人随手拿出4个，则至少有3个红球的概率为

随手抓出4个球，至少有3个红球，那是什么意思？就是最少3个红球呗，最少3个，那就还可以再多一些，由于只抓出来4个，所以红球还可以是4个。所以这道题分成两类情况：第一类，4个球中，有3个红球，1个其他颜色的球。第二类，4个球中，4个都是红球。

首先来算分母，总共是20个球，从中间抓4个，那这就是分母了：

然后第一类，4个球中有3个红球，那就是从总共10个红球中，抓出3个红球。剩余的一个其他颜色的球呢？从剩余的10个球中抓取。所以第一类的情况是：

第二类呢，4个球中，全部都是红球，那就是从总共10个红球中，抓出4个红球。所以第二类的情况是：

所以这道题：抓出4个球，至少3个红球的概率是：

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这是我们从正面来分析解答的一道题，有的时候，你正面去做，反而不太容易做出来，或者说，没有反面考虑那么简单。那我们来一道题瞧瞧：

某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张。第二小组有足球票4张，排球票6张。甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。则两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

这道题是甲乙手里各有1张票，问甲乙两人至少有1人抽到足球票的概率。那我们把问题分成三类。第一类，甲手里足球票，乙手里排球票。第二类，甲手里排球票，乙手里足球票。第三类，甲乙手里都是足球票。那如果人数再多一些，我们的分类就会更多，这时候有没有简单的方法来计算呢？

有的！我们的方法就是：正难则反。意思就是，正面去做搞不定，那就从反面来搞定它。

这道题说甲乙两人至少有1人有足球票，那反过来是啥？反过来就是谁手里都没有足球票啊！都没有足球票，那就是甲乙手里都是排球票。而且，你发现没有？反面的情况就这一种哎，很好计算哎！

那甲抽中排球的概率是：

那乙抽中排球的概率是：

那甲乙同时抽中排球的概率是：

那它的反面，就是我们要求的概率，就用全部的概率（也就是1）减去这个概率，即：

你看，有时候反其道而行之，反而是最有效的方法。

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上面两个讲的都是“至少”的问题，下面我们来个“至多”的问题来分析分析。看题：

一批产品中共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，则5件中至多有1件次品的概率为

5件产品中，至多1件次品啥意思？那就是最多有1件次品。它分为两种情况，第一类，4件正品，1件次品。第二类，5件正品，0件次品。

先求分母，分母就是10件产品，随机抽取5件，那就是：

对于第一类，4件正品是从8件正品中抽取出来。1件次品是从2件次品中抽取出来。那就是：

对于第二类，5件正品全部是从8件正品中抽取出来。那就是：

因此，概率就是：

这道题我们是从正面来做的，反面当然也可以做，不过反面没有正面简单而已。其实这道题如果改成：一批产品中共10件，其中有5件次品，现随机地抽取5件，则5件中至多4件次品的概率为（）。这时候我们就可以用反面来做了，你来做做试试？

好，今天的内容我们就讲解到这里。欢迎大家关注我们的公众号，我们会持续分享院校信息、课程的推送、各科目的复习知识等内容，一定对您的考研有很大帮助。您的关注，是我们持续的动力。我们下期再见！